另一角度看概率
钦州二中数学组 黄 第
概率是高考的必考内容，它对学生的理解能力提出很高的要求。对概率的理解包括对各种事件的理解和对各种思想方法的理解，是高中概率的难点，如果处理不好，则很难在考试当中得到好的成绩，但是如果懂得去理解的话就很容易拿高分。笔者主要从事件特征、所涉及思想方法、事件的综合等方面进行理解。
一、事件的分类
（1）必然事件：在一定条件下必然发生的事件，叫必然事件（P(A)=1）；
（2）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件，叫不可能事件（P(A)=0）；
（3）随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫随机事件
（0<P(A) <1）；
事件的概率：0≤P(A)≤1.
二、各种事件的特征与其所涉及的思想方法
1、等可能性事件的概率
(1)定义：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是.如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.
（2）等可能性事件的特征：
①对于一次试验来说，且概率还没有出现，则用等可能性事件来求每次的概率；
②利用排列组合来求m、n，即等可能性事件就是排列组合问题。
【例1】 甲、乙两个盒子中，各放有5个不同的电子元件．已知：甲盒子中有2个次品，乙盒子中有1个次品，其余的均为正品．若将两个盒子的元件放在一起，然后逐个取出检验，直到次品全部被检出为止，求所有次品恰好在第4次检验时被检出的概率．
解析：方法一：∵10个元件中有3个次品，且所有次品在第4次被全部检出．
∴在前3次检验中，只能检到1个正品，其余的均为次品，故该基本事件数为C
∴所求概率为P＝＝.
方法二：对于所有次品恰好在第4次检验时被检出这一事件，其前4次取出的元件情况共有3种：正、次、次、次；次、正、次、次；次、次、正、次．
所以这一事件的概率为
P＝×＝.
2、互斥事件有一个发生的概率
（1）互斥事件的定义：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件．
（2）概率公式：
①如果事件A、B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；
②如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么事件A1＋A2＋…＋An发生的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
（3）特征：主要用于分类讨论思想，既只当作一种解题思想（相加）。
（4）对立事件：对于两个事件，其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件
注意：主要用于间接法，既用反面来求正面。
3、相互独立事件同时发生的概率
注意：“同时发生”不是指同个时间发生，而是都要发生。既用于分步计数原理（相乘）
(1)概念：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．
(2)概率：如果事件A与事件B相互独立，则P(A·B)＝P(A)·P(B)；如果事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1·A2·…·An)＝P(A1)·P(A2)·…·P(An)．
(3)相互独立事件的特征：
①有两个试验以上；
②已经给出概率，且概率不完全相同；
③若没有给出概率，则先用等可能性事件求出每一步的概率，再用相互独立或者独立重复来求。
【例2】 甲、乙、丙三位大学毕业生，同时到一个用人单位应聘，他们被选中的概率分别为甲：P(A)＝；乙：P(B)＝；丙：P(C)＝.且各自能否被选中是相互独立的．求：
(1)三人都被选中的概率；
(2)只有两人被选中的概率；
(3)三人中有几人被选中的事件最易发生？
解析：(1)∵三个事件A、B、C相互独立，
∴三人都被选中的概率为P(A·B·C)＝P(A)·P(B)·P(C)＝××＝.
(2)只有两人被选中的事件为·B·C＋A··C＋A·B·.
∵事件·B·C、A··C、A·B·彼此互斥，且A、B、C相互独立．
∴P(·B·C＋A··C＋A·B·)＝P(·B·C)＋P(A··C)＋P(A·B·)
＝P()·P(B)·P(C)＋P(A)·P()·P(C)＋P(A)·P(B)·P()
＝××＋××＋××＝.
故只有两人被选中的概率为.
(3)∵三人都不被选中的概率为
P(··)＝P()·P()·P()＝××＝，
∴三人中有且仅有一个人被选中的概率为
1－P(A·B·C)－P(·B·C＋A··C＋A·B·)－P(··)＝.
由于＞＞，所以三人中只有一人被选中的概率最大，此事件最容易发生．
4、独立重复试验
(1)注意：独立重复试验是概率相同的相互独立事件，“重复”指的是发生的条件或者水平没有变化。
(2)独立重复试验满足的条件：
①每次试验在同样条件下可重复进行；
②各次试验之间相互独立；
③每次试验都只有两种结果(即某种事件要么发生，要么不发生)；
④在任何一次试验中，事件发生的概率均相等．
(3)概率公式：
注意：①Cnk：指n次试验中有k次发生的所有情况（结果）；
②k次发生满足任意性，既没有哪一次特殊；若有特殊则另外考虑；
③只要结果出现都要考虑，而有些试验做了，但不要求结果的则不需要考虑。
【例3】 甲、乙两人在一场五局三胜制的乒乓球比赛中，规定甲或乙无论谁先赢满三局就获胜，并且比赛就此结束．已知甲、乙两人每局比赛甲取胜的概率为，乙胜的概率为，且每局比赛的胜负相互独立．
(1)求比赛以甲3胜1负结束的概率；
(2)求比赛以乙3胜2负结束的概率；
(3)设甲获胜的概率为P1，乙获胜的概率为P2，求P1∶P2.
(4)已知前2局中，甲、乙各胜1局,求甲获得这次比赛胜利的概率；
解析：(1)以甲3胜1负结束，则第四局一定甲胜，前三局中甲胜两局，所求概率为P＝C32×2××＝.
(2)以乙3胜2负结束，则第五局一定乙胜，前四局中乙胜两局，所求概率为
P＝C42×2×2×＝.
(3)甲获胜的情况有三种：3胜0负，3胜1负，3胜2负，则其概率分别为
C333＝，C322××＝，C422×2×＝.
于是甲获胜的概率P1＝＋＋＝，
乙获胜的概率为P2＝1－P1＝，
所以P1∶P2＝64∶17.
(4) 甲获胜的情况有两种：3胜1负，3胜2负，则其概率分别为C222，
C21××＝.
于是甲获胜的概率P= C222 +C21××
注意：前2局中，甲、乙各胜1局是已知条件，是历史遗留问题，不是概率所要研究的对象，概率研究的是还没有发生的事情。
三、离散型随机变量ξ的分布列、期望与方差
（1）分布列：先求ξ所能取的值，即所有可能出现的结果，再求出每个结果的相应概率，并列表。
注意：ξ的分布列其实就是分类计数原理的应用。
【预测3】 一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下规则：凡愿摸彩者，每人交1元作为“手续费”，然后可以一次从袋中摸出5个球，中彩情况如下表：
|
摸出的5个球 |
中彩发放奖品情况 |
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有5个白球 |
1顶帽子（价值20元） |
|
恰有4个白球 |
1张贺卡（价值2元） |
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恰有3个白球 |
纪念品（价值0.5元） |
|
其他 |
同乐一次(无任何奖品) |
求：(1)摸一次能获得20元奖品的概率；
(2)博彩者的收入ξ的分布列(ξ可为负值)．
解析：(1)摸一次能获得20元奖品的概率是
P＝＝.
(2)如果把取到白球的个数作为随机变量η，则
P(η＝5)＝＝，P(η＝4)＝＝，
P(η＝3)＝＝，
P(η＝2)＋P(η＝1)＋P(η＝0)＝.
∴博彩者的收入这一随机变量ξ(可能是负数值)的分布列为
（2）期望：指分布列中各列对应相乘的和，既随机变量ξ发生的平均值（水平）
（3）方差或者标准差：主要用于研究随机变量ξ发生的稳定性
注意：二项分布与几何分布的期望与方差
(1)二项分布：
若ξ～B(n，p)，则Eξ＝np，Dξ＝np(1－p)．
(2)几何分布：
若ξ服从几何分布，则P(ξ＝k)＝g(k，p)，
Eξ＝，Dξ＝.
【例3】 设甲、乙两名射手各打了10发子弹，每发子弹击中环数如下：
甲击中环数：10,6,7,10,8,9,9,10,5,10；
乙击中环数：8,7,9,10,9,8,7,9,8,9.
试问：哪一名射手的射击技术较好？
四、各种事件之间的综合
1、等可能性事件与相互独立事件的综合
例1：（08年全国卷）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．
（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；
（Ⅱ）
解：记A1、A2分别表示依方案甲需化验1次、2次，B1、B2分别表示依方案乙需化验2次、3次，A表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数.依题意知A2与B2独立.
2、等可能性事件与独立重复试验的综合
例如：有放回的重复抽取问题。
3、相互独立事件与独立重复试验的综合
(06年高考全国卷)（18）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效，若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组，设每只小白鼠服用A有效的概率为
（Ⅱ）观察3个试验组，用
解：(Ⅰ)设A1表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，I=0，1，2，B1表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，I=0，1，2，
依题意有
所求的概率为
（Ⅱ）
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0 |
1 |
2 |
3 |
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数学期望
注意：（1）只要有等可能则先用等可能来求每一次事件的概率；
（2）只要有相互独立则最后才用相互独立（相乘）。
总之，要处理好概率问题，只要懂得从以下几个方面入手：（1）要了解各事件的特征，审题时要分清与什么事件有关，因为个事件的运算方式不同；（2）要用好两个原理，即分类计数原理（互斥事件）和分步计数原理（相互独立事件）。须要注意的是，为更容易分清各事件，我们只把互斥事件当作一种分类讨论思想来用，而且考虑问题时必须先弄清有多少种情况（类型）；（3）用好两种方法，即直接法和间接法（对立事件）。（4）了解以下知识背景：抽奖类（摸球类），比赛类，科技类（实验类）。特别要注意的是，如果对知识背景确实很陌生，比如科技类，则回到概率事件本身去理解就可以了，反正都是考等可能性事件、相互独立事件和独立重复试验中的一种或者它们之间的综合。